Multzoen teoria nahiko modernoa den matematika-teoria bat da, zeinak, labur esanda, multzo izeneko gauzak eta horiekin erlazionatuta dauden problemak ikertzen dituen.

Georg Cantor jotzen da multzoen teoriaren sortzailetzat, 1874. urtean Fourierren serieak eta infinituaren erabilerari buruzko lanak argitaratu baitzituen. Hala ere, Cantorren emaitzak nahasgarriak dira. Egiaztatzen du, esate baterako, zuzenean planoan adina puntu daudela, eta osoa zatiak baino handiagoa delako printzipioaren kontra egiten du. Haatik, teoria berriak aurkaritza izugarria nozitu zuen matematika-komunitatean. Aipagarria da Leopold Kronecker irakasle ohi eta Berlingo Unibertsitateko lankideak egindako aurkaritza: maila pertsonalera iritsi zen eztabaida, eta osasun-etxe psikiatriko batera eramanarazi zuen Cantor. Urteek aurrera egin ahala, bere teoria onartuz joan da; izan ere, teoriaren aplikazioak aurkitzen hasi dira ustekabeko matematikako arloetan eta matematika osoaren oinarrian dagoela antzematen hasi dira. Zurichen, 1897an, Nazioarteko Lehen Matematika Biltzarra egin zenean, David Hilbertek —prestigio handieneko matematikariak— hau esan zuen: “Cantorrek paradisu bat eraiki du guretzat, eta hortik ez gaitu dagoeneko inork kanporatuko”.

Cantorrek multzoari buruz zeukan ideia bere definizio ospetsu honetan ikus daiteke: “multzo bat geure buruak edo geure intuizioak ondo ezberdintzen dituen gauzen elkartea da, osotasun hori unitate bakartzat hartuta”.

Bere teoriaren —intuiziozko teoria edo teoria bakuna deitua— oinarria da multzo bat propietate finko bat betetzen duten elementuen "bilduma" delako definizioa, eta bi printzipio hauek onartzen ditu inplizituki:

• Lehena: entitate matematiko bakarra da, beste multzo baten barne egon daitekeena.

• Bigarrena: elementu berak dituzten bi multzo berdinak dira.

Hala ere, definizio hori ez da zeharo baliozkoa, bilduma hitza erabiltzen baitu, multzo hitzaren balioaz hain zuzen ere.

Hortaz, hasierako teoriaren garapenak bazeuzkan zenbait hutsune, eta emaitza kontraesankorrak ematen hasi zen. George Fregek sistema zehatzagoa garatu zuen, paradoxa batzuk agertzen hasi ziren arte: Burali Fortiren paradoxa, Cantorren paradoxa eta Bertrand Russellen paradoxa famatua. Hori dena gainditzeko, zenbait proposamen egin ziren, adibidez, Brouwerren, Russellen eta Ernst Zermeloren proposamenak —azken horrek onarpen orokorra lortu zuen—. Ernst Zermelok multzoen teoriaren zergatiei buruz 1908. urtean argitaratutako ikerketak aipatutako paradoxak saihesten zituen, axiomen sistema mugatuago bat finkatuz. Ondoren, Thoraf Skolem eta Abraham Fraenkelek haren ideiak zehaztu zituzten, eta gaur egun oso ezaguna den Zermelo-Fraenkel teoria sortu zuten. Beste alde batetik, John von Neumann, Paul Bernays eta Kart Gödelek beste multzoen teoria bat garatu zuten (NBG sistema izenarekin ezagutzen dena).

Multzoen teoria oso garrantzitsua da matematika osoa eraikitzeko abiapuntu gisa har daitekeelako (kategorien teoria izan ezik). Adibidez, multzoen teoriaz baliatuz kontzeptu hauek definitu eta beren propietateak frogatu ahal dira: bikote ordenatua, erlazioa, funtzioa, multzoaren banaketa, ordena, egitura aljebraikoak, zenbaki arruntak, zenbaki osoak, zenbaki arrazionalak, zenbaki errealak, zenbaki irudikariak eta abar.

Multzoen teoriaren oinarrizko kontzeptuak

Bi dira Cantorrek, intuiziozko teorian, garatu zituen oinarrizko kontzeptuak:

• Multzoa: edozein motatako objektuen bilduma, entitate oso gisa hartuta. Multzoa eratzen duten objektuei multzoaren elementu deritze. Propietate bat betetzen duten objektuek eratzen duten taldea jotzen dugu bildumatzat (propietate horrek lengoaia zehatz baten bidez egon behar du definituta). Multzo bat beti da objektu batzuen bilduma, baina edozein objekturen bilduma ez da beti multzo bat.

  Beste modu batez esanda, edozein P propietate emanda, C multzo bat existitzen da, non bere x elementuak P(x) propietatea betetzen duten objektuak diren.

• Barnekotasun-erlazioa: “multzo baten elementua izatea” multzoen teoriaren bi objekturen arteko binakako erlazioa da. Erlazio hau objektu batetik bestera doa. Bigarrenak nahi eta nahi ez multzoa izan behar du, baina lehena multzoa izan daiteke ala ez. Barnekotasuna adierazteko, ikur hau erabiltzen da: ∈$$. Beraz, a elementu bat C multzokoa dela adierazteko, $a\in C$ idazten dugu. Modu berean, kontrakoa adierazteko, hau da, a elementua C-ren barne ez dagoela adierazteko, $a\notin C$ idazten da.

Notazioa

Normalean, multzoak adierazteko letra larriak erabiltzen dira: A, B, C… Multzoak definitzeko, hiru modu hauek erabiltzen dira:

• Estentsiozko deskribapena: multzoko elementuak banan-banan adieraziz. Esate baterako, A multzoko elementu guztiak x, y eta z izango balira, A = $\left\{x,y,z\right\}$ idatziko genuke.

• Intentsiozko edo edukierazko deskribapena: A multzoko P propietate bat betetzen duten elementuez osatua badago, $A=\left\{x/P(x)\right\}$ idatziko dugu.

• Vennen diagrama bidezko deskribapena: zirkuluak erabiliz eta elementuak bere barnean kokatuz:

A multzoaren Vennen diagrama

Multzo bereziak

• Multzo unibertsala: aztergai diren objektu guztiek eratzen duten multzoa da. U letraren bitartez adierazten da.

• Multzo hutsa: elementu gabeko multzo gisa definitzen da. $\Phi$ ikurra erabiltzen da multzo hutsa adierazteko.

Multzoen berdinketa

Esaten da A eta B bi multzo berdin direla (A = B), elementu berdinak badituzte; hau da, baldin eta A-ko edozein elementu B-ren barnean badago eta B-ko edozein elementu A-ren barnean badago.

Azpimultzoak

A multzoa B-ren azpimultzoa dela esaten da, A-ko elementu guztiak B-koak ere baldin badira. Horrela idazten da:

$A\subseteq B\iff$    $\forall x\in A\Rightarrow x\in B$,

non $\forall$ ikurrak “edozein” adierazten baitu, $\iff$ ikurrak, alde biko inplikazioa (baldin eta soilik adierazteko), eta $\Rightarrow$ ikurrak, eskuineranzko inplikazioa.

B eta horren A azpimultzoaren diagrama

Hor, Vennen diagrama bat dugu, non A multzoa B-ren azpimultzoa den. $A\subset B$ idazten da (edo $A\subseteq B$, baldin eta A eta B berdinak izatea posible dela adierazi nahi badugu)

Multzoen arteko eragiketak

• Bilketa: A eta B multzoen arteko bilketa bien elementu guztiekin osatzen den multzoa da. $A\cup B$ idazten da.

• Ebaketa: A eta B multzoen arteko bilketa komunak dituzten elementuek osatzen duten multzoa da. $A\cap B$ idazten da.

• Diferentzia: A eta B-ren arteko diferentzia, B-n ez dauden A-ko elementuek osatzen duten taldea da. A – B idazten da.

• Osagarria: A multzoaren multzo osagarria da A-n ez dauden U unibertsaleko elementuek osatzen dutena. $A^C$ idazten da. Argi dago $A^C$ = U – A dela. (Multzo osagarria, beti, hitz egiten ari garen unibertsalarekiko osagarria da. Adibidez, U zenbaki osoen multzoa bada eta A zenbaki positiboen multzoa, orduan, $A^C$ negatiboen multzoa litzateke).

• Multzoen aljebra: U multzo unibertsalean dauden A,B,C… multzoak aintzat hartuz, haien arteko bilketa eta ebaketa eragiketekin aljebra garatu ahal da. Aljebra interesgarri bat Boolerena da (multzo baten azpimultzoek eratzen dutena). Booleren aljebra oso erabilgarria da probabilitatearen teorian gertaerak maneiatzeko.

Gaur egungo axiomatizazioa

Cantorren teoria aipatutako formalismoa erabiliz garatu zen, baina, esan dugun bezala, zenbait kontraesan zeuden; famatuena, Russsellen paradoxak agerrarazi zuena.

Russellen paradoxa: demagun A = $\left\{x/x\notin x\right\}$ multzoa definitzen dugula. ¿$A\in A$? galdera planteatzen bada, aukera hauek daude: 1) EZ. Orduan, $A\notin A$ eta, ondorioz, A multzoak $x\notin x$ propietatea betetzen du, eta, beraz, $A\in A$ beteko da, hau da, kontraesan batera iristen da. 2) BAI. Orduan, $A\in A$ eta, ondorioz, ez du $x\notin x$ propietatea betetzen. Beraz, $A\notin A$ gertatzen da, hau da, kontraesan batera iristen da berriro. Beraz, A ez dago A-ren barnean, baina ezin da kontrakoa ere esan.

Paradoxa hau saihesteko, Russell eta Whiteheadek “mailen teoria” garatu eta Principia Mathematica izenburuko liburu batean plazaratu zuten. Teoria horrek Russell paradoxa desagerraraztea lortu zuen, baina konplikatuegia zen interesa izateko. Ondoren, Zermeloren multzoaren teoria —askoz sinpleagoa logika mailan— nagusitu zen, eta Cantorren eta Fregeren sistemetan agertzen ziren paradoxa guztiak desagerrarazi zituen.

Zermelo-Fraenkelen multzoen teoria (ZF)

Zermelo-Fraenkel teoria matematikaren zutabe bat dela onartua dago gaur egun. Zermelok modu zehatzean agertu zuen, baina haren formalismoa ez zen oso argia. Skolem eta Fraenkelek lengoaia formalera eta zehatzera itzuli zituzten Zermeloren ideiak. Horrez gain, moldaketa batzuk egin zituzten Zermeloren lorpenak hobetzeko. Horrela, Zermelo-Fraenkelen multzoen teoria, bederatzi axiomatan oinarritua, formalizatua gelditu da. Beste teorema bat gehitzen bazaio, hautaketa-axioma hain zuzen ere, ZFC deritzo teoriari.